LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTIMA
Objetivamos estudar a função logarítmica uqe é defenida a partir da função exponencial.
Mas, antes disso, vamos falar sobre a origem dos logaritmos, anterior às funções exponencial e logarítmica criados para resolver problemas de cálculos que podem parecer inacreditáveis nos dias de hoje.
Para iniciar nossos estudos vamos ler sobre a história de homens e de uma cultura que enfrentavam a necessidade de cálculos sem ter a linguagem matemática de que dispomos hoje.
UM POUCO DE UMA GRANDE HISTÓRIA
Cálculos que hoje aprendemos nas primeiras série escolares não eram do domínio de todos até bem pouco tempo. No século XVII, na Europa, as operações de dividir e multiplicar eram ensinadas somente nas universidades e com técnicas muito diferentes daquelas que usamos atualmente.
No entanto, a expansão do comércio e a busca de novas terras e mercados deram início ao período das Grandes Navegações, que exigiu cáclculos mais precisos e rápidos.
O trabalho independente de John Napier, barão escocês, teólogo e matemático suíço e fabricante de instrumentos astronômicos, permitiu simplificar as longas operações de dividir e multiplicar envolvendo tantos números grandes como frações decimais muito pequenas.
Contudo, acredita-se que foi a publicação do livro Arithmetica integra, do matemático alemão Michael Stifel, em 1544, que inspirou o trabalho de Napier e Burgi. Em seu livro, Stifel comparou as seguintes sequências numéricas:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ...
Instrumento para cálculo inventado no século XVII por John Napier. Os "ossos de Napier" como são conhecidos, consistiam
em um conjunto de bastões quadrangulares de
madeira, com
tabelas de multiplicação gravadas nas faces
laterais. Após a
justaposição dos bastões corretos, o
resultado da multiplicação se
fazia por uma simples leitura. Note-se, porém, que, embora
eles não
fossem baseados nos logaritmos, sua evolução
levou às réguas de cálculo
utilizadas por décadas até o aparecimento das
calculadoras eletrônica.
Com base nessas sequências, para calcular 16X64, bastava somar os números correspondente a 16 e a 64 na linha de cima ( 4 + 6 = 10). O resultado da multiplicação era o número correspondente a 10 na linha debaixo, ou seja, 1024. Assim, 16 x 64 = 102.
Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números da primeira linha. simples, não?
Isso valia também para a divisão. Veja:
Para calcular 512 : 32, bastava subtrair os números correspondente a 512 e a 32 na linha de cima. Como 9 - 5 = 4, o resultado da divisão era o número que correspondia a 4 na linha debaixo, isto é, 16. Daí, 512:32=16.
É interessante observae que, se ampliarmos essas duas sequências, poderemos fazer cálculos de forma muito rápida envolvendo números bem grandes, usando como apoio a adição para as multiplicações e a subtração para as divisões.
Antes de continuar a leitura, observe as duas sequencias e tente descobrir por que os cálculos funcionam.
Hoje, com o que conh4ecemos sobre potências, é fácil encontrar uma explicaçãompara a relaçãomentre as sequências:
Essa linguagem, no entanto, não existia naquela época. Ela é creditada a René Descarte, francês que a desenvolveu por volta de 1637. Depois, portanto, dos trabalhos de Stifel, Napier e Burgi, o que é mais um motivo para admirarmos as descobertas desses matemáticos.
Mas qual foi a grande ideia que Napier e Burgi tiveram a partir das sequencias de Stifel? Eles perceberam que as duas sequências facilitavam os cálculos, desde que os números que seriam multiplicados ou divididos estivessem na lista debaixo. Porém, o que fazer quando os números não estavam na lista?
Eles notaram que, se trocassem as potências de base 2 por potências de um número muito perto de 1, os valores da lista debaixo estariam bem próximos. Com isso, poderiam construir uma tabela em que a maioria dos números que interessavam aos cálculos pudesse ser encontrada.
Assim nasceram as conhecidas tábuas de logaritmos. Napier usou como base de suas potências
A palavra logaritmo foi inventada por Napier juntando as palavras logos e arithmos, que significam "números" e "razão". Já Burgi colocou no título de seu trabalho uma referência a progressões geométricas para descrever a segunda sequencia de números.
Dessa forma, para calcular o produto de dois números, bastava procurar nas tábuas seus logaritmos somá-los e voltar a consultar a tábua para obter o resultado da multiplicação.
mas as contribuições desses matemáticos para os cálculos da época e de hoje não foram apenas essas. vamos iniciar o estudo do tema desse bimestre para podermos conhecer melhor parte do trabalho desses brilhantes homens do passado, que permitiram o desenvolvimento tecnológico de uma importante fase da nossa história e que continuam contribuindo para o nosso futuro.
Fonte: Extraído do livro Matemática ensino médio das autoras Kátia Stocco e Maria Ignez Diniz, paginas 189 e 190.
TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
nº
|
log
|
|
nº
|
log
|
1
|
0
|
|
50
|
1,69897
|
2
|
0,30103
|
|
51
|
1,70757
|
3
|
0,477121
|
|
52
|
1,716003
|
4
|
0,60206
|
|
53
|
1,724276
|
5
|
0,69897
|
|
54
|
1,732394
|
6
|
0,778151
|
|
55
|
1,740363
|
7
|
0,845098
|
|
56
|
1,748188
|
8
|
0,90309
|
|
57
|
1,755875
|
9
|
0,954243
|
|
58
|
1,763428
|
10
|
1
|
|
59
|
1,770852
|
11
|
1,041393
|
|
60
|
1,778151
|
12
|
1,079181
|
|
61
|
1,78533
|
13
|
1,113943
|
|
62
|
1,792392
|
14
|
1,146128
|
|
63
|
1,799341
|
15
|
1,176091
|
|
64
|
1,80618
|
16
|
1,20412
|
|
65
|
1,812913
|
17
|
1,230449
|
|
66
|
1,819544
|
18
|
1,255273
|
|
67
|
1,826075
|
19
|
1,278754
|
|
68
|
1,832509
|
20
|
1,30103
|
|
69
|
1,838849
|
21
|
1,322219
|
|
70
|
1,845098
|
22
|
1,342423
|
|
71
|
1,851258
|
23
|
1,361728
|
|
72
|
1,857332
|
24
|
1,380211
|
|
73
|
1,863323
|
25
|
1,39794
|
|
74
|
1,869232
|
26
|
1,414973
|
|
75
|
1,875061
|
27
|
1,431364
|
|
76
|
1,880814
|
28
|
1,447158
|
|
77
|
1,886491
|
29
|
1,462398
|
|
78
|
1,892095
|
30
|
1,477121
|
|
79
|
1,897627
|
31
|
1,491362
|
|
80
|
1,90309
|
32
|
1,50515
|
|
81
|
1,908485
|
33
|
1,518514
|
|
82
|
1,913814
|
34
|
1,531479
|
|
83
|
1,919078
|
35
|
1,544068
|
|
84
|
1,924279
|
36
|
1,556303
|
|
85
|
1,929419
|
37
|
1,568202
|
|
86
|
1,934498
|
38
|
1,579784
|
|
87
|
1,939519
|
39
|
1,591065
|
|
88
|
1,944483
|
40
|
1,60206
|
|
89
|
1,94939
|
41
|
1,612784
|
|
90
|
1,954243
|
42
|
1,623249
|
|
91
|
1,959041
|
43
|
1,633468
|
|
92
|
1,963788
|
44
|
1,643453
|
|
93
|
1,968483
|
45
|
1,653213
|
|
94
|
1,973128
|
46
|
1,662758
|
|
95
|
1,977724
|
47
|
1,672098
|
|
96
|
1,982271
|
48
|
1,681241
|
|
97
|
1,986772
|
49
|
1,690196
|
|
98
|
1,991226
|
|
|
|
99
|
1,995635
|
Você seria capaz de responder:
O que é um logaritmo de um número?
1- LOGARITMO
se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, e sua altura inicial é de 1cm, qual é a altura esperada ao final do 5º mês?
Broto de feijão em diferentes fases de crescimento
Fazendo uma análise sobre uma planta que inicialmente media 1 cm e cuja altura dobrava a cada mês.
Com o que aprendemos na última unidade, podemos saber a altura da planta em cada momento. No entanto, propomos a seguinte questão: Após quanto tempo a planta terá 9 cm de altura?
Retomemos a tabela e o gráfico da função exponencial correspondente.
Observamos que responder à questão proposta significa resolver a equação exponencial
Já resolvemos equações exponenciais anteriormente, como por exemplo
Em quase todas elas, usávamos recursos para resolução que transformavam cada lado da igualdade em potências de mesma base; depois, então, "igualávamos" os expoentes. Mas em
parece não ser possível fazer isso.
Observando o gráfico, vemos que x é um número que está entre 3 e 4, mas não sabemos exatamente o seu valor.
É possível consultar o que chamamos de tábua de logaritmos para encontrar o valor de x. Poderíamos ainda utilizar uma calculadora científica para isso.
O valor de x que resolve o problema proposto é o logaritmo de 9 na base 2, que indicamos assim:
Mas 3,169 meses = 3 meses e 0,169 de um mês = 3 meses e 0,169 de 30 dias
3 meses e 5 dias. Isso significa que um pouco depois de 3 meses e 5 dias a planta deve alcançar a altura de 9 cm.
No entanto, esse cálculo não é assim tão simples, pois as tábuas de logaritmos e as calculadoras não usam a base 2. Em geral, é usada a base 10.
Por isso, precisamos estudar de modo mais aprofundado os logaritmos para, finalmente, compreendermos como calcular o valor de
e muitos outros.
Observe que:

De modo geral:
Logaritmo de um número positivo b em uma base a, a > 0 e a
de 1, é o expoente da potência à qual se deve elevar a para se obter b.