1ª série EM

1º Bimestre

CONJUNTOS

PRELIMINARES

       Na Matemática, tratamos o conceito de conjunto como conceito primitivo, portanto sem definição.

       Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados elementos do conjunto.

 Exemplos:

Conjunto dos dias da semana.

Conjunto dos meses do ano.

Conjunto das letras do alfabeto.

Conjunto dos números naturais maiores que 2.

Convenções:

Os conjuntos são designados, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, D,...

Os elementos são indicados, geralmente, por letras minúsculas: a,b,c,...,z.

REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

      Podemos representar um conjunto enumerando os seus elementos entre chaves e separados por vírgulas.

Exemplificando, temos:

1. Sendo P o conjunto dos números pares maiores que zero, representamos:

P = {2,4,6,8,10,...}

2.Sendo I o conjuntos dos números ímpares menores que 30, representamos:

I+{1,3,5,7,9,...,29}

3. Sendo V o conjunto das vogais, representamos:

V={a,e,i,o,u}

      Uma outra maneira de representarmos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade característica do conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles.

Exemplificando, temos:

 

 Observe:

       A letra x representa um elemento genérico e a sentença "x é dia da semana" é a propriedade característica do conjunto. 

Outros exemplos: 

PERTINÊNCIA

   Se um elemento x é um elemento de um conjunto A, escrevemos:

 

   Por outro lado, se o elemento x não é elemento de A, escrevemos:

IGUALDADE DE CONJUNTOS

        Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B e escrevemos:

         A = B  

      quando A e B possuem os mesmo elementos, ou seja, todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A.
 

 Exemplificando, temos:
   Se A = {a,e,i,o,u} e B = {u,o,i,e,a} então A=B, pois todo elemento de A pertence a B e vice-versa.  Observe que um conjunto não se modifica quando trocamos a ordem dos seus elementos.

CONJUNTO VAZIO

    O conjunto que não possui nenhum elemento chama-se conjunto vazio e é representado pelo símbolo:

 

Exemplificando, temos:
1. Sendo A o conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias, A é um conjunto vazio, pois nenhum mês do ano tem mais de 31 dias. Representamos:

2.Sendo B o conjunto dos dias da semana que iniciam pela letra r, então:
 
3.  Sendo:

 

CONJUNTO UNITÁRIO 

 O conjunto que possui apenas um elemento chama-se conjunto unitário.
 Exemplificando, temos:
1.Sendo B o conjunto dos meses do ano cujos nomes iniciam pela letra d, b é um conjunto unitário, pois apenas dezembro inicia por d:
B = { dezembro }

2. Sendo R o conjunto das consoantes da palavra era, R é um conjunto unitário: R = { r }.

3. Sendo:

 

Exercícios

1) represente os seguintes conjuntos enumerando os seus elementos entre chaves:

SUBCONJUNTOS 

       Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de a é também elemento de b. A relação A é subconjunto de B é representada por:


 Exemplo:
Sendo A = {1,2} e B = (1,2,3,4), então :
 
 Contraexemplo:
Sendo E = {1,5} e D= {1,2,3,4}, então E não é subconjunto de D, portanto D não contém E.
Em símbolos:
 
     Para tornar mais claro o exemplo e o contraexemplo dados, vamos representar os conjuntos usando os diagramas de Venn, que consistem em representar um conjunto pela região do plano limitada por uma curva fechada:

 

EXERCÍCIOS      

UNIÃO DE CONJUNTOS

  Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e se indica A U B (A união B)  o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B.
Exemplificando, temos:
1.  A = { 1,2,3,4 }
     B = { 3,4,5,6 }
     A U B = { 1,2,3,4,5,6 }

2. V = { vogais do nosso alfabeto}
    C = { consoantes do nosso alfabeto} 
     V U C = { a,b,c,d,e,f,g,..., z }

3.
 

 

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

 
 

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

      Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os conjuntos A e B nessa ordem e indica A - B o conjunto cujos elementos pertencem a A mas não pertencem  B.
 Exemplificando, temos:
1. A={ 1,2,3,4}                     2. M = { 3,5,6 }             3. R = { 1,2,3,4 } 
    B = { 3,4,5,6 }                      P = { 3,5,6,7 }               S = { 3.4,5,6 }
    A - B = { 1,2}                       M - P = {   }                   S - R = { 5,6 }
 
4.
 

CONJUNTO COMPLEMENTAR

      Particularmente, quando B é um subconjunto de A, a diferença A - B chama-se conjunto complementar de B em relação a A:






 Exemplificando, temos:
 

     3.
 

EXERCÍCIOS

 

CONJUNTOS NUMÉRICOS

          Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações:

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N:

 N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }

Nota:
O * (asterisco) é usado para indicar a supressão do zero. Assim;
N* = {1,2,3,4,5,6,... }                                                                      

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z :

 

CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS Q:

 l

        Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma:
 

 Exemplificando, temos:







Exemplos: 
 

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R: 

       O conjunto dos números racionais reunido com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais.
          Sendo:

l

          Assim, os números reais podem ser racionais ou irracionais.

       Os reais racionais, quando expressos na forma decimal, ou são decimais exatos ou têm infinitas casa, porém periódicas.

       Os reais irracionais, representados aproximadamente na forma decimal, têm inifnitas casas decimais e não periódicas.

  Exemplificando, temos:

       Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos. Observe: 

 

A RETA REAL

       Os números reais são representados graficamente considerando a correspondência biunívoca existente entre os pontos de uma reta e os números reais.
         Assim, a cada ponto da reta corresponde um e um só número real e cada número real é correspondente de um único ponto.  por outro lado, assim como entre dois pontos de uma reta há infinitos pontos, também entre dois números reais quaisquer existem infinitos números reais.
 

INTERVALO NUMÉRICOS

     Considerando dois números reais a e b, sendo a < b, vamos definir alguns subconjuntos de R, chamados intervalos numéricos de extremos a e b.
      Exemplificando: sendo a = 3 e b = 5, o  conjunto dos infinitos números reais compreendidos entre 3 e 5 é um subconjunto de R chamado intervalo numérico de extremo 3 e 5.
          Um intervalo pode incluir ou não os extremos, daí termos a seguinte classificação:

          Intervalo fechado
          Quando inclui os extremos a e b.

         Intervalo aberto
         Quando não  inclui os extremos a e b.
 
         
         Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
        Quando inclui s a e não inclui  b.
 

        
       Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
       Quando não  inclui os extremos a e  inclui b.
 kk
Exemplos:




l

EXERCÍCIOS

 

 

 

 

APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA RESOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS 

Exemplos: 
1.  Se dois conjuntos A e B têm juntos 25 elementos, A tem 18 elementos e há 3 elementos comuns, então quantos elementos tem o conjunto B?
 
 2. Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. No mês passado, um levantamento sobre o consumo desses produtos apresentou os seguintes resultados.

l
Observe que todas as pessoas deste levantamento consumiram pelo menos um dos três produtos. Então pergunta-se:
a) Quantas pessoas consumiram somente o produto A?
b) Quantas pessoas consumiram somente um produto, A, B ou C?
c) Quantas pessoas consumiram mais de um produto?



 Respondendo às perguntas temos:
a) Consumiram apenas o produto A: 35 pessoas.
b) Consumiram somente um produto, A, B ou C: 35 + 30 + 60 = 125 pessoas
c) Consumiram mais de um produto: 15 + 25 + 10 + 5 = 55 pessoas

Exercícios 

26 - Num grupo de pessoas pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qua o total de assinantes?

27 - Numa escola 150 alunos estudam Matemática, 20 estudam Português e Matemática e os 30 restantes estudam outras disciplinas. Pergunta-se: Qual o total de alunos dessa escola?

28 - Num clube exatamente 30% dos sócios praticam futebol, 80% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos um dos dois esportes, qual é o percentual de praticantes dos dois?

29 - A tabela abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos:

Com base nesta tabela, pergunta-se:

a) Quantas pessoas foram pesquisadas?
b) Quantas consomem apenas um dos produto?
c) Quantas não consomem o produto C?
d) Quantas consomem só dois produtos?

30 - Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem nem carro nem TV. Pergunta-se:
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?

Relação e Função

PRODUTO CARTESIANO

             Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e se indica A X B (A cartesiano B) o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x,y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o segundo a B.

Exemplificando, temos:

   Dados      A = {3,4,5}       e     B={ 5,6}

   então:  A X  B  = {(3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6)}

   Podemos representar esse produto cartesiano em:

   Diagramas de setas

l
Ou graficamente:
 Sistema de coordenadas cartesianas

 

EXERCÍCIOS

1 - Sendo:

a = {3,5} E b = {1,4},  determine:

a) A X B         b) B X A 

2 - dados: 

M = {0,5} e N = {-1,0,5}, determine:

a) M X N          

b) N X M 

c) Em diagramas de setas:

 

3 - Sendo:

A = { 1,2},   B= {0,1}       e C = {0},  determine: 

a)  A X A                 b)    A X B                   c)    A X C              d) B X B

e)  B X C                 f)    C X C                    g)     C X A              h) C X B

4 - Represente graficamente, usando o sistema de coordenadas cartesianas, os produtos cartesianos do exercício anterior. 

5 - Observando a representação gráfica do produto cartesiano A X B, escreva o valor da abcissa e da ordenada dos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I:

 L

6 - Dado o produto cartesiano A X B = {91,-1), (1,2),(1,3),(2,-1),(2,2),(2,3)} determine os conjuntos A e B. 

RELAÇÃO BINÁRIA 

        Relação binária de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B.

Exemplo: 

      Dados  A = {1,2}     e     B ={2,4},  então: A X B = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,4)}.

      Subconjuntos de A X B, tais como:

 l

 ou graficamente:

Sistema de coordenadas cartesianas

 
l

Podemos ainda representar uma relação tomando um par ordenado arbitrário ((x,y) do produto cartesiano A X B para representar um elemento genérico e uma "lei" que relacione o 1º elemento do par com o seu respectivo 2º elemento.

 

EXERCÍCIOS

1 - represente as relações enumerando seus pares ordenados:

l

8 - Dados A = {1,2,3}   e   B={0,2,3,6,7}

determine as seguintes relações, enumerando seus pares ordenados:

Modelo: 

 
9 - Represente graficamente as seguintes relações de A em B, dados:
A = {0,2,3} e B = {0,1}

  10 - Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5} represente graficamente as seguintes relações:

 n

FUNÇÃO

    Dados dois conjuntos A e B, chama-se função uma relação R de A em B se e somente se para todo elemento x de A existe um único correspondente y em B.

Exemplo:

    Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,9} e as relações:

 

 

 

Exercícios

11 - Assinale os diagramas que podem representar uma função: 

 
12 - dados os conjuntos:
E = {1,2,3,4} e F = {2,5,6}
e as relações abaixo, escreva se a relação é função ou não é função:
Sugestão:
Represente cada relação em diagramas de setas e verifique.

 
13 - dada a função f de A em B pelo diagrama de setas, dê a imagem dos elementos: a, b, c e d.

Notação

     Uma função f de A em B, ou seja, domínio em A e imagem no contradomínio B, indica-se:

 l
      Assim, cada elemento x de A está associado a um único y, imagem de x pela função f, que se indica f(x) e lê-se f de x.

EXERCÍCIOS 

14 - dadas as funções abaixo em diagramas de setas, dê o domínio D, o contradomínio CD e o conjunto imagem Im:

p

FUNÇÃO NUMÉRICA DE VARIÁVEL REAL

    Uma função é chamada função numérica de variável real quando o domínio e o contradomínio dessa função são subconjuntos do conjunto dos números reais.

 Exemplo:
       Seja a função f de R em R definida por f(x) =  x + 1     ou      y = 2x + 1.
        Assim, esta função tem domínio R e a cada x deste domínio stá associado um único y pertence R, através da "lei" f(x) = 2x + 1 ou y = 2x + 1.

DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

     Na prática, é bastante comum indicarmos uma função apenas pela "lei" que a define, não mencionado, portanto, os dois conjuntos A e B, domínio e contradomínio, da função.
      Neste caso, devemos admitir que:

•  O contradomínio é R.
•  O domínio é o conjunto formado por todos os números reais que a variável arbitrária x pode assumir, de modo que as operações indicadas em f(x) possam ser efetuadas em R.

   Exemplos: