LOGARITMOS

LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTIMA

           Objetivamos estudar a função logarítmica uqe é defenida a partir da função exponencial.

          Mas, antes disso, vamos falar sobre a origem dos logaritmos, anterior às funções exponencial e logarítmica criados para resolver problemas de cálculos que podem parecer inacreditáveis nos dias de hoje.

     Para iniciar nossos estudos vamos ler sobre a história de homens e de uma cultura que enfrentavam a necessidade de cálculos sem ter a linguagem matemática de que dispomos hoje.

 

UM POUCO DE UMA GRANDE HISTÓRIA

         Cálculos que hoje aprendemos nas primeiras série escolares não eram do domínio de todos até bem pouco tempo. No século XVII, na Europa, as operações de dividir e multiplicar eram ensinadas somente nas universidades e com técnicas muito diferentes daquelas que usamos atualmente.

       No entanto, a expansão do comércio e a busca de novas terras e mercados deram início ao período das Grandes Navegações, que exigiu cáclculos mais precisos e rápidos.

         O trabalho independente de John Napier, barão escocês, teólogo e matemático suíço e fabricante de instrumentos astronômicos, permitiu simplificar as longas operações de dividir e multiplicar envolvendo tantos números grandes como frações decimais muito pequenas.

      Contudo, acredita-se que foi a publicação do livro Arithmetica integra, do matemático alemão Michael Stifel, em 1544, que inspirou o trabalho de Napier e Burgi. Em seu livro, Stifel comparou as seguintes sequências numéricas:

       0    1      2      3        4       5         6          7           8          9           10        ...

      1    2       4     8     16      32       64       128      256      512       1024         ...

 

Instrumento para cálculo inventado no século XVII por John Napier. Os "ossos de Napier" como são conhecidos, consistiam em um conjunto de bastões quadrangulares de madeira, com tabelas de multiplicação gravadas nas faces laterais. Após a justaposição dos bastões corretos, o resultado da multiplicação se fazia por uma simples leitura. Note-se, porém, que, embora eles não fossem baseados nos logaritmos, sua evolução levou às réguas de cálculo utilizadas por décadas até o aparecimento das calculadoras eletrônica.

           Com base nessas sequências, para calcular 16X64, bastava somar os números correspondente a 16 e a 64 na linha de cima ( 4 + 6 = 10). O resultado da multiplicação era o número correspondente a 10 na linha debaixo, ou seja, 1024. Assim, 16 x 64 = 102.

         Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números da primeira linha. simples, não?

          Isso valia também para a divisão. Veja:

       Para calcular 512 : 32, bastava subtrair os números correspondente a 512 e a 32 na linha de cima.  Como 9 - 5 = 4, o resultado da divisão era o número que correspondia a 4 na linha debaixo, isto é, 16. Daí, 512:32=16. 

         É interessante observae que, se ampliarmos essas duas sequências, poderemos fazer cálculos de forma muito rápida envolvendo números bem grandes, usando como apoio a adição para as multiplicações e a subtração para as divisões.

         Antes de continuar a leitura, observe as duas sequencias e tente descobrir por que os cálculos funcionam.

      Hoje, com o que  conh4ecemos sobre potências, é fácil encontrar uma explicaçãompara a relaçãomentre as sequências:

 

         Essa linguagem, no entanto, não existia naquela época. Ela é creditada a René Descarte, francês que a desenvolveu por volta de 1637. Depois, portanto, dos trabalhos de Stifel, Napier e Burgi, o que é mais um motivo para admirarmos as descobertas desses matemáticos.

       Mas qual foi a grande ideia que Napier e Burgi tiveram a partir  das sequencias de Stifel? Eles perceberam que as duas sequências facilitavam os cálculos, desde que os números que seriam multiplicados ou divididos estivessem na lista debaixo. Porém, o que fazer quando os números não estavam na lista?

        Eles notaram que, se trocassem as potências de base 2 por potências de um número muito perto de 1, os valores da lista debaixo estariam bem próximos. Com isso, poderiam construir uma tabela em que a maioria dos números que interessavam aos cálculos pudesse ser encontrada.

       Assim nasceram as conhecidas tábuas de logaritmos.  Napier usou como base de suas potências

    A palavra logaritmo foi inventada por Napier juntando as palavras logos e arithmos, que significam "números" e "razão". Já Burgi colocou no título de seu trabalho uma referência a progressões geométricas para descrever a segunda sequencia de números.

    Dessa forma, para calcular o produto de dois números, bastava procurar nas tábuas seus logaritmos somá-los e voltar a consultar a tábua para obter o resultado da multiplicação.
     mas as contribuições desses matemáticos para os cálculos da época e de hoje não foram apenas essas.  vamos iniciar o estudo do tema desse bimestre para podermos conhecer melhor parte do trabalho desses brilhantes homens do passado, que permitiram o desenvolvimento tecnológico de uma importante fase da nossa história e que continuam contribuindo para o nosso futuro.

Fonte: Extraído do livro Matemática ensino médio das autoras Kátia Stocco e Maria Ignez Diniz, paginas 189 e 190.

TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS

nº	log		nº	log
1	0		50	1,69897
2	0,30103		51	1,70757
3	0,477121		52	1,716003
4	0,60206		53	1,724276
5	0,69897		54	1,732394
6	0,778151		55	1,740363
7	0,845098		56	1,748188
8	0,90309		57	1,755875
9	0,954243		58	1,763428
10	1		59	1,770852
11	1,041393		60	1,778151
12	1,079181		61	1,78533
13	1,113943		62	1,792392
14	1,146128		63	1,799341
15	1,176091		64	1,80618
16	1,20412		65	1,812913
17	1,230449		66	1,819544
18	1,255273		67	1,826075
19	1,278754		68	1,832509
20	1,30103		69	1,838849
21	1,322219		70	1,845098
22	1,342423		71	1,851258
23	1,361728		72	1,857332
24	1,380211		73	1,863323
25	1,39794		74	1,869232
26	1,414973		75	1,875061
27	1,431364		76	1,880814
28	1,447158		77	1,886491
29	1,462398		78	1,892095
30	1,477121		79	1,897627
31	1,491362		80	1,90309
32	1,50515		81	1,908485
33	1,518514		82	1,913814
34	1,531479		83	1,919078
35	1,544068		84	1,924279
36	1,556303		85	1,929419
37	1,568202		86	1,934498
38	1,579784		87	1,939519
39	1,591065		88	1,944483
40	1,60206		89	1,94939
41	1,612784		90	1,954243
42	1,623249		91	1,959041
43	1,633468		92	1,963788
44	1,643453		93	1,968483
45	1,653213		94	1,973128
46	1,662758		95	1,977724
47	1,672098		96	1,982271
48	1,681241		97	1,986772
49	1,690196		98	1,991226
			99	1,995635

Você seria capaz de responder:

O que é um logaritmo de um número?

1- LOGARITMO
      se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, e sua altura inicial é de 1cm, qual é a altura esperada ao final do 5º mês?


Broto de feijão em diferentes fases de crescimento

        Fazendo uma análise sobre uma planta que inicialmente media 1 cm e cuja altura dobrava a cada mês.
       Com o que aprendemos na última unidade, podemos saber a altura da planta em cada momento. No entanto, propomos a seguinte questão: Após quanto tempo a planta terá 9 cm de altura?
         Retomemos a tabela e o gráfico da função exponencial correspondente.
     
   Observamos que responder à questão proposta significa resolver a equação exponencial

     Já resolvemos equações exponenciais anteriormente, como por exemplo  Em quase todas elas, usávamos recursos para resolução que transformavam cada lado da igualdade em potências de mesma base; depois, então, "igualávamos" os expoentes. Mas em parece não ser possível fazer isso. 

       Observando o gráfico, vemos que x é um número que está entre 3 e 4, mas não sabemos exatamente o seu valor.

       É possível consultar o que chamamos de tábua de logaritmos para encontrar o valor de x. Poderíamos ainda utilizar uma calculadora científica para isso.

      O valor de x que resolve o problema proposto é o logaritmo de 9 na base 2, que indicamos assim:

  

      Mas 3,169 meses = 3 meses e 0,169 de um mês = 3 meses e 0,169 de 30 dias 3 meses e 5 dias.  Isso significa que um pouco depois de 3 meses e 5 dias a planta deve alcançar a altura de 9 cm.

      No entanto, esse cálculo não é assim tão simples, pois as tábuas de logaritmos e as calculadoras não usam a base 2.  Em geral, é usada a base 10.

    Por isso, precisamos estudar de modo mais aprofundado os logaritmos para, finalmente, compreendermos como calcular o valor de    e muitos outros.

           Observe que:

      
De modo geral:

 Logaritmo de um número positivo b em uma base a, a > 0 e a de 1, é o expoente da potência à qual se deve elevar a para se obter b.
 
   

PRELIMINARES
      Considere os seguintes problemas:

• Qual é o expoente que se deve dar aos 2 para se obter 8?

                 Passando para a linguagem matemática e resolvendo

 

• Qual é o expoente que se deve dar ao 10 para se obter 100?

    

        Esse expoente x que se dar a uma base positiva e diferente de 1 chamamos de logaritmo.
       Assim, nos problemas dados temos:

         1) x = 3 é o logaritmo de 8 na base 2 e se indica:


        2) x = 2 é o logaritmo de 100 na base 10 e se indica:

       Esses expoentes 3 e 2 machados de logaritmos, foram calculados através de equações exponenciais simples:

     Por outro lado, na maioria dos problemas o valor desse expoente não é exato, exemplo: 
 
  Para a determinação desse valor utilizamos a teoria dos logaritmos. 

DEFENIÇÃO

De um modo genérico, definimos:
   Dados dois numero reais e positivos a e b, sendo a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Indicamos:



Chamamos:
 b   logaritmando
 a   base
 x   logaritmo

Exemplos:
 
 IV- Usando a definição, determine o logaritmando b, sendo a base 3 e o logaritmo 4.

 V- Usando a definição, determine o logaritmando a na expressão:

                                                                                                 log_a 8 = 3

 VI- Usando a definição, calcule o logaritmo de 27 na base 9.

                     EXERCÍCIOS

1)    Usando a definição, calcule:

a)     O logaritmo dados base igual a 5 e logaritmando 25.

b)    A base, dados logaritmo igual a 3 e logaritmando 27.

c)    O logaritmo de 7 na base 7.

d)    O logaritmo de 1/25  na base 5.

2)    Calcule o valor de x:

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO

       Na expressão log_a b = x, só existe o logaritmo x quando a base a é positiva e diferente de 1 e o logaritmo b é positivo.

Resumindo:

    Existe log_a b somente quando a > 0, a 1 e b > 0.

Exemplos:

1 – Para que valores de x existe log_{3 (}(5x -10)?

    Pela condição de existência, só existe o logaritmo quando o logaritmando é positivo. Então, devemos ter:

5x – 10 > 0

5x > 20 x > 10/ 5 x > 2

S = { x R/ x 2}

2 – Para que valores de x existe log (x+2) 7?

Pela condição de existência, a base tem que ser positiva e diferente de 1.

Então, devemos ter:

X+ 2 > 0 e x + 2  1

X > -2    e     x  1 – 2

X > -2   e x  -1

Logo: S = { x  R / x > -2 e x  -1}

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO

    Na expressão ...       , só existe o logaritmo x quando a base a é positiva e diferente de 1 e o logaritmo b é positivo.

Resumindo: 

         Existe .... somente quando a>0, a diferente 1 e b> 0.

Exemplos:

1) Para que valores de x existe log...(5x -10)?

    Pela condição de existência, só existe o logaritmo quando o logaritmando é positivo.

    Então, devemos ter:

5x - 10 > 0

5x > 10 

x > 10/5

x > 2     Logo, S = { x E R / x > 2}

2) Para que valores de x existe log...7?

     Pela condição de existência, A a base tem que ser positiva e diferente de 1.

     Então, devemos ter:

x + 2 > 0        e         x + 2 #   1

x > -2             e         x # 1 - 2

x > -2             e         x # -1

LOGO: s = { X e r / X > -2 E X # -1}

PROPRIEDADES DECORRENTES DA DEFINIÇÃO

      Dados os números reais e positivos a, b e c, sendo a # 1, pela definição de logaritmo decorrem as seguintes propriedades:

D1   O logaritmo de 1 na base a é zero.

log 1 = 0 , pois a = 1

D2  O logaritmo da própria base a é 1.

log a = 1, pois a = a

D3  Dois logaritmos numa mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais.

log b = log c   b = c

Nota:

        Quando não se escreve a base, convenciona-se que a base é 10.

Exemplo:

    log 2 = log 2

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS